Un gruppo abeliano, chiamato anche gruppo commutativo, è un tipo di struttura algebrica in cui l'operazione binaria del gruppo è commutativa. Ciò significa che l'ordine in cui vengono effettuate le operazioni non influisce sul risultato finale.
Un gruppo abeliano può essere rappresentato attraverso una tabella di Cayley o mediante una notazione algebrica. Nella notazione algebrica, un gruppo abeliano viene definito come una struttura algebrica (G, ⊕) in cui G è il gruppo e ⊕ rappresenta l'operazione binaria. L'operazione binaria deve soddisfare diverse proprietà, come l'associatività, l'esistenza di un elemento neutro e l'esistenza dell'inverso per ogni elemento del gruppo.
Un esempio comune di gruppo abeliano è il gruppo dei numeri interi, indicato con (Z, +). In questo gruppo, l'operazione binaria è l'addizione e soddisfa tutte le proprietà necessarie. Ad esempio, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) e per ogni intero a, esiste un altro intero -a tale che a + -a = -a + a = 0.
Altri esempi di gruppi abeliani includono il gruppo delle matrici quadrato n per qualsiasi n, il gruppo additivo degli interi modulo n (indicato con (Z/nZ, +)) e il gruppo dei numeri reali positivi con l'operazione di moltiplicazione come operazione binaria.
I gruppi abeliani hanno diverse proprietà interessanti, come il fatto che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è anch'esso abeliano e che ogni gruppo quoziente di un gruppo abeliano è abeliano. Queste proprietà semplificano notevolmente l'analisi e lo studio dei gruppi abeliani.
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