Cos'è gruppo abeliano?

Un gruppo abeliano, chiamato anche gruppo commutativo, è un gruppo in cui l'operazione di gruppo è commutativa. In altre parole, per tutti gli elementi a e b del gruppo, a * b = b * a.

Formalmente, un gruppo (G, *) è abeliano se soddisfa le seguenti condizioni:

1. Chiusura: Per ogni a, b ∈ G, a * b ∈ G.
2. Associatività: Per ogni a, b, c ∈ G, (a * b) * c = a * (b * c).
3. Elemento neutro: Esiste un elemento e ∈ G tale che per ogni a ∈ G, a * e = e * a = a.
4. Elemento inverso: Per ogni a ∈ G, esiste un elemento a⁻¹ ∈ G tale che a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e.
5. Commutatività: Per ogni a, b ∈ G, a * b = b * a.

L'ultima condizione, la commutatività, è ciò che distingue un gruppo abeliano da un gruppo non abeliano.

Esempi di gruppi abeliani includono:

• L'insieme dei numeri interi ℤ con l'operazione di addizione +. Vedi https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Numeri%20Interi.
• L'insieme dei numeri reali ℝ con l'operazione di addizione +.
• L'insieme dei numeri razionali non nulli ℚ\{0} con l'operazione di moltiplicazione *. Vedi https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Numeri%20Razionali.
• I gruppi ciclici. Un https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Gruppo%20Ciclico è un gruppo generato da un singolo elemento.

Alcune proprietà importanti dei gruppi abeliani:

• Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale. Vedi https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Sottogruppo%20Normale.
• Il prodotto diretto di gruppi abeliani è un gruppo abeliano.
• Il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati afferma che ogni gruppo abeliano finitamente generato è isomorfo ad una somma diretta di gruppi ciclici. Vedi https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Teorema%20Fondamentale%20dei%20Gruppi%20Abeliani%20Finitamente%20Generati.

La teoria dei gruppi abeliani è ben sviluppata e ha importanti applicazioni in vari campi della matematica, tra cui la teoria dei numeri, l'algebra e la geometria.